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Ingenieurgeograph |
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Donnerstag, 7. Juni 2007 |
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Aufgabe Wie kann die Genauigkeit einer Winkelmessung für die Triangulation auf die geforderte Genauigkeit von unter 20“ (Bogensekunden) gebracht werden, wenn die Ablesegenauigkeit mit dem Nonius (Vernier) des Winkelmessers bestenfalls 1’ (Bogenminute) beträgt? Lösung Ist die sog. Einfache Repetition, bei der durch wiederholte Winkelmessungen ein mechanischer Mittelwert gebildet wird. Das erste Repetitionsinstrument, die Recipiangel, wurde 1752 von Tobias Mayer in Göttingen für astronomische Messungen konstruiert. Das Instrument muß hierzu folgende konstruktive Voraussetzungen erfüllen:
Das Instrument Der kleine Repetitions-Theodolit, signiert „Ul Schenck & Comp à Berne“, Baujahr ca. 1815, aus der Schule von Reichenbach, erfüllt diese Voraussetzungen. Er hat einen Limbus von 8,75 Zoll Durchmesser und ist somit für Triangulationen 2. und 3. Ordnung geeignet. Für Triangulationen erster Ordnung ist laut Reichenbach ein 12-zölliger Theodolit erforderlich um eine Genauigkeit von 3” Bogensekunden zu erreichen.. Der Schencksche Theodolit steht auf einem dreiarmigen Stativ mit 3 Höhenrichtschrauben, die mit der Libelle eine genaue Horizontierung auf einige Sekunden erlaubt. Der äußere und innere Vollkreis können unabhängig um die vertikale Achse gedreht werden, und von je zwei Klemmen fixiert werden. An diesen befindet sich eine Schraube ohne Ende, welche die Feinadjustierung erlaubt. Auf den inneren Kreis ist der Vertikalkreis mit dem Teleskop montiert, welches bis zu ca. 60° gehoben oder gesenkt werden kann. Beide konzentrischen Kreise enthalten eine Skala in Silber, da dieses leichter als Messing zu gravieren ist und beide Metalle nahezu die gleiche Wärmeausdehnung haben. Der Vernier ist auf 15’ (Bogeminuten) mit 15 Unterteilungen eingerichtet, erlaubt also die Ablesung auf 1’ genau. Die leichte Bauweise macht den Theodoliten zum Recogniszieren auf Türmen und für das gebirgichte Land geeignet. Das Instrument war von der Schenckschen Werkstatt in Bern für 400 Gulden zu erwerben. Handhabung
Vorteil des Verfahrens Hatte das Verfahren ursprünglich den Zweck, kleine Winkel durch Wiederholung auf ein größeres und damit genaueres Maß zu bringen, so eliminieren die Repetitionen die Fehler in den Kreisteilungen des Instruments, die Achsenfehler, die Ablesefehler am Nonius und die ungenaue Visierung der Zielpunkte durch den Beobachter. Nachteil des Verfahrens Die Messung muß mit großer Konzentration absolviert werden. Wird nämlich eine Klemme falsch fixiert, so ist die ganze Repetition bis zu dem letzten gemessen Winkel unbrauchbar und muß wiederholt werden. Pro Horizontalwinkel sind ca. 30 bis 60 Minuten zu veranschlagen. Rechenfehler können sich einstellen, wenn z.B. man vergißt, die Vielfachen von 360° hinzuzuzählen. Auswertung Bei n Wiederholungen erhält man also den n-fachen Winkel im Mittel. Eigentlich ist es nicht notwendig, die einzelnen Repetitionen zu notieren, weil die letzte Messung genügt, jedoch empfiehlt es sich, die Repetitionen wie folgt zu kontrollieren. Man kann in der Reihe der gemessenen Winkel sehr gut die Konvergenz auf den Mittelwert beobachten, da die anfänglichen Abweichungen ein immer geringeres Gewicht erhalten. Ist dies nicht der Fall, so muß man den systematischen Fehler zu ergründen suchen und muß die Messung wiederholen. Beispiel für den Winkel am Endpunkt (TP 5) der Basis, genommen zwischen dem hinteren Giebel H des Passauer Hofes und dem Zwischenpunkt TP 4 (Stationsfahne) südlich von Windsheim am 24. Julius 1815 bei 38° Celsius, siehe Croquis und Orientierungsspinne.
Ein gemessener Winkel von 45,071° mit einem Fehler von 37“ Bogensekunden. Diskussion Die angestrebte Genauigkeit von 20“ Bogensekunden wurde um den Faktor 2 verfehlt, könnte aber durch weitere Repetitionen erreicht werden. Der Hauptfehler dürfte wohl von der nicht einfachen Ablesung des Nonius, desweiteren von dem teilweise nachschleifenden Bewegung des inneren Kreises und dem nicht ganz erschütterungsfreien Dreibein stammen. Auch die ermüdende Hitze von 38° Celsius dürfte einen Effekt auf den Beobachter gehabt haben. Anzumerken ist, daß die Gauß’sche Methode der kleinsten Quadrate erst ca. 1808 veröffentlicht wurde, und daß folglich die Anwendung in der Geodäsie wohl frühestens dann nachweisbar sein dürfte.
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